黃金比例

黃金比例（英語：golden ratio）， 又安到黃金比、黃金分割比、黃金分割率，係數學常數，一般用希臘字母 $ \ varphi $ 表示。做得用下代數式來定義：

$ { \ frac { a + b } { a } }={ \ frac { a } { b } } \ , { \ stackrel { \ text { def } } {=} } \ , \ varphi \quad ( a > b > 零 ) $

這乜係黃金比一名个由來。 黃金比係算無理數，準確值係 $ { \ frac { 一 + { \ sqrt { 五 } } } { 二 } } $，約值（小數點後二十儕， A 一六百二十二）：

$ \ varphi $＝一千八百空三三九八七四九八九四八八…

應用時一般取一千五百六十一八，就像圓周率在應用時取三千五百樣。

黃金比有嚴格个藝術感、和諧感，包含豐富个美學價值，還過係呈現當多動物同植物个外觀。這下普遍已多工業產品、電子產品、建築物抑係藝術品都應用了黃金比，分更加好看。

歷史

黃金个比例係屬於數學領域个專有名詞，毋過最尾涵蓋个內容毋單淨係有關數學領域个研究，根據目前个文獻探討，𫣆做得講，黃金比个發現同仰仔演進到今還係一個令仔。毋過有研究講公元前六世紀古希臘个畢達哥拉斯學派研究過正五邊形摎正十邊形个作圖，故所現代數學家推斷當時畢達哥拉斯學派既經有觸及甚至掌握了黃金比个一兜規則，乜發現無理數。佢重於從數學關係去探討美个規律，還認為靚就係和諧摎比例，照這種比有關係就做得組成美个圖案，這其實係一隻數目字个比例關係啦，會過同一條線分做兩部分，長段摎短段个比等於全長摎長段个比，佢兜个比例大概係一千五百六十一八比一，有名个費氏數列也體現了這數學原則， 照這種比例關係組成个任何事物都表現出佢內部關係个和諧同均衡。

公元前四世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題，還過建立起比例理論。公元前三零零年前後歐幾里得寫《 幾何原本》這時節吸收吔歐多克索斯个研究成果，進一步系統論述了黃金比，成為最早个有關黃金比个論著（就係臨尾比賽）。

中世紀過後，黃金比率披上神秘个外衫，義大利數學家盧卡 ・ 帕喬利安到中末比為神聖比例，還過專門為這來書立講。德國天文學家約翰內斯 ・ 克卜勒安做神聖比例係黃金比。到十九世紀黃金比一名正漸漸仔通行，另外證據在德國數學家馬丁 ・ 歐姆所寫个《基本純數學》第二版注釋裡背有關黃金比个解釋：「 大家慣勢同照這隻方式同任何一直線分割做兩部份个方法，安到黃金比」。 還過在一八七五年出版个《大英百科全書》第九版當中，蘇利有講著：「 由費區該…… 佢提出來个生趣、實驗性濃厚个想法宣稱，『 黃金比』在視覺比例頂項有所謂个優越性。」可見黃金比在該當時已經較流行吔。二十世紀仔時節美國數學家馬克 ・ 巴爾分佢安到 phi。黃金比有異多生趣个性質，人類對厥个實際應用乜當闊，造就吔佢今晡日个名氣。最有名个例仔係優選學个黃金比法抑係零角六一八法，係由美國數學家傑克 ・ 基弗在一九五三年首先提出，七零年代在中國推廣。

基本計算

兩個數值 $ a $ 摎 $ b $ 造成黃金个比例 $ \ varphi $，係講：$ { \ frac { a + b } { a } }={ \ frac { a } { b } }=\ varphi $

一隻得出 $ \ varphi $ 數值个方法係對左片个分數式入手。經過簡化摎代入，

$ { \ frac { a + b } { a } }={ \ frac { a } { a } } + { \ frac { b } { a } }=一 + { \ frac { b } { a } }=一 + { \ frac { 一 } { \ varphi } } $

於是啊：

$ 一 + { \ frac { 一 } { \ varphi } }=\ varphi $

兩片乘上 $ \ varphi $ 就得到：

$ \ varphi + 一=\ varphi ^ { 二 } $

就係 $ { \ varphi } ^ { 二 } - \ varphi 重點一千八百空二=零 $

尋出該方程个正解，: $ \ varphi={ \ frac { 一 + { \ sqrt { 五 } } } { 二 } }=一千八百空三三九八七 \ ldots $

黃金比奇妙个地方係在佢倒算自家減少个，斯係六一八…＝一千八百五十二…－一，還過時常喊做「黃金比例總共軛」。

對頂項个 $ 一 + { \ frac { 一 } { \ varphi } }=\ varphi $ 得著：

$ { \ frac { 一 } { \ varphi } }=\ varphi 重點一千八百空二 $

零嗒六一八…个數值輒常用希臘字母 $ \ Phi $ 表示，就係：

$ \ Phi={ 一 \ over \ varphi }={ 一 \ over一千八百空三三九八七 \ ldots } $＝零嗒六一八零三九八七…，也做得表達為：

$ \ Phi $＝$ \ varphi $－一＝一千八百空三三九八七…－一＝零嗒六一八零三九八七…

替代抑其他个形式

公式 $ \ varphi=一 + { \ frac { 一 } { \ varphi } } $ 做得拿著黃金比个連分數：

$ \ varphi=[一 ; 一 , 一 , 一 , \ dots]=一 + { \ cfrac { 一 } { 一 + { \ cfrac { 一 } { 一 + { \ cfrac { 一 } { 一 + \ ddots } } } } } } $

佢个倒算係：

$ \ varphi ^ { 重點一千八百空二 }=[零 ; 一 , 一 , 一 , \ dots]=零 + { \ cfrac { 一 } { 一 + { \ cfrac { 一 } { 一 + { \ cfrac { 一 } { 一 + \ ddots } } } } } } $

平方根表示：

$ \ varphi={ \ sqrt { 一 + { \ sqrt { 一 + { \ sqrt { 一 + { \ sqrt { 一 + . . . } } } } } } } } $

以三角函數个特殊值表示：

$ \ varphi={ \ frac { 十三 } { 八 } } + \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } { \ frac { ( 重點一千八百空二 ) ^ { ( n + 一 ) } ( 二 n + 一 )! } { ( n + 二 ) ! n ! 四 ^ { ( 二 n + 三 ) } } } . $

就係：

$ \ varphi=一 + 二 \ sin ( { \ frac { \ pi } { 十 } } )=一 + 二 \ sin 十八 ^ { \ circ } $

$ \ varphi={ 一 \ over 二 } \ csc ( { \ frac { \ pi } { 十 } } )={ 一 \ over 二 } \ csc 十八 ^ { \ circ } $

$ \ varphi=二 \ cos ( { \ frac { \ pi } { 五 } } )=二 \ cos 三十六 ^ { \ circ } $

$ \ varphi=二 \ sin ( { \ frac { 三 \ pi } {十 } } )=二 \ sin 五十四 ^ { \ circ } . $

摎其他數學事項个關係

黃金比个乘冪摎費氏數列个關係

$ \ varphi ^ { n }=F _ { n 重點一千八百空二 } + \ varphi F _ { n } $ 還過 $ ( 一 - \ varphi ) ^ { n }=F _ { n + 一 } - \ varphi F _ { n } $，其中 n 為任何整數，$ F _ { n } $ 係費氏數列个第一 _ n _ 項摎正切函數个關係

$ \ tan 二 x=兩千五百八十二 $，係講唯一 $ \ tan x=\ varphi $ 抑係 $ - { \ frac { 一 } { \ varphi } } $。

例仔

• 黃金分割點

• * * * * * *

貴金屬分割

貴金屬分割即 $ { \ frac { n + { \ sqrt { n ^ { 二 } + 四 } } } { 二 } } $，其中 $ n $ 為正整數。$ n=一 $ 時節係黃金比（$ { \ frac { 一 + { \ sqrt { 五 } } } { 二 } } $）， $ n=二 $ 時為白銀比（ $ 一 + { \ sqrt { 二 } } $）， $ n=三 $ 時為青銅比（$ { \ frac { 三 + { \ sqrt { 十三 } } } { 二 } } $）。 用連分數做得表示為 $ n + { \ cfrac { 一 } {n + { \ cfrac { 一 } { n + { \ cfrac { 一 } { n + { \ cfrac { 一 } { \ ddots } } } } } } } }=[n ; n , n , n , n , \ dots] $

外部連結

• 維基共享資源頂高个相關多媒體資源：黃金分割率