零角九九九…

零角九九九…，乜做得寫做 $ 零 . { \ overline { 九 } } $、$ 零 . { \ dot { 九 } } $ 抑係 $ 零 . ( 九 ) $，係一個有特殊意義个無限循環小數。在數學个完備實數系當中，「零角九九九…」所表示个數摎「一」共樣。

簡介

零角九九九…係書寫在小數記數系統裡背个一個數，讀作：「零點九，九循環」。一兜最簡單个零嗒九九九…=一个證明啦明都倚恃這個系統方便个算術性質。大部分个細數算術 ─ ─ 加法、減法、乘法、除法，還有大細个比較，使用摎整數差毋多个數位層次个操作。同歸仔共樣，任何兩個有限小數只愛數位無共樣，該恁呢數目值乜定著無共樣。相對仔講，任何一個形係零角九九…九个數量，只愛只愛有限個九，這兜九最終會停忒，就係講這隻數目字係比一个。

這類展開式个非唯一性毋單淨限制在十進位系統，共樣个現象乜出現在其他个整數進位制當中。數學家乜列舉出吔幾下場毋係整數進位制當中个寫法，這種現象乜毋單淨限制一个：對每一個非零个有限小數，都存在另外一種有無窮多隻九个寫法，因為簡便个原因，這時節大體都肯定使用有限小數个寫法，恁仔就過較使人恅著係無其他寫法吔，實際上，在完備實數系當中做得用無限小數，該恁樣在所有个進位制當中都有無窮多種替代个寫法，比將講，十八十二八十七摎十八十五三二八六九九…、十八十二八七零零零…，還有當多其他个寫法，都表示共樣个數，這兜各種各樣个等式被用來過好地理解分數个小數展開式个規律，還過一個簡單个圖形 ─ ─ 康托爾集合个結構，佢兜乜出現在一隻對歸隻實數个無窮集合个古典研究之中。

在過去幾下十年裡背，異多數學教育个研究人員研究吔大眾摎學生仔對這兜式个接受程度，蓋多學生仔在學習開始个時節懷疑甚至毋肯等式，啊學生仔分先生看、教科書摎如下章節个算術推論講服接受兩者係相等个。就算恁呢，當多人還係試著疑狐，所以提出進一步个辯解，這輒常係因為有異多對數學實數个錯誤觀念這兜後背个因素（參見以下教育當中堵著个懷疑一章節），比將講認為每一個實數都有唯一个一個小數展開式，還過認為無限細（無窮細）毋等於零，還過摎零嗒九九九…看做係一隻不定值，就有可能係緊來緊少可仔擴大變大，因為這摎一个差永遠係無限細个毋係零，故所「永遠都差一息」。做得構造出符合這兜直觀个數系，毋過單淨做得在用初等數學抑係大部分个數學當中个標準實數系統進行，係啊，某兜設計包含有「堵好細在一」个數量，毋過，這兜數量一般摎零角九九九…無相干啦（因為同相關个理論上同實踐上都無實質用途），毋過在數學分析當中引起了相當大个關注。

誤解著零九九九…中个省略號个意義，係誤會解零九九九…=一个其中一个原因。這位省略號个用法摎日常語言當中零角九九…九个用法係無共樣个，零嗒九九…九中个省略號意思係有限个部分省略仔跌忒。毋過，當用來表示一個循環小數个時節，"…" 表示講無限个部分省略仔跌忒，這淨做得用當多个數學概念來講。作為用傳統數學个結果，指派分記數表示式「零角九九九…」這值定義為一個實數，該實數為著收殮數列（零嗒九，零嗒九九，零角九九九，九九九，九九九九，…）个極限。「零角九九九…」係一個數列个極限，從而，對零嗒九九九…=這個等式就當直觀吔嗬。

摎整數同有限小數个情況無共樣，其實記數法也做得用多種方式表示單一個數值。比將講，係講使用分數，$ { \ begin { smallmatrix } { \ frac { 一 } { 三 } }={ \ frac {二 } { 六 } } \ end { smallmatrix } } $。毋過，一個數最多正做得用兩種無限小數个方法來表示。係講有兩種方法，該恁仔其中一種定著係對某一个開始全係循環重複个九，另外一種則係對某一位開始就全係循環重複个零。

零角九九九…=有當多證明，佢兜各有無共樣个嚴謹性。一個嚴謹个證明做得簡單个說明如下。考慮著兩個實數其實係共樣个，若係講唯一佢兜个差等於零。大部分人都同意，零角九九九…同一个差，就算存在也係非常个細 ( 實際上根本無存在，就係差等於零點 )。考慮著以上个收殮數列，這時節做得證明這個差當多大細一定係比任何一個正數个，也做得證明（詳細內容參見阿基米德个性質），唯一具有這個性質个實數係零。因為差係零，做得知一摎零八九九…係共一部，用共樣个理由，乜做得解釋做麼个「零嗒三三三…=三股一股」；應該等式乘上三倍了後就使得得出「零角九九九…=一」。

證明

對位減少

在無考慮柯西序列个情況下：一千空零零…− 九九九九…這個結果係零嗒零零…，也就係後背个零無限循環。這兩隻數目都做得表示成無限循環小數，小數點過後五儕過後還會一直寫上零，一直無法度尋著最後一位來填上一，因為係講補上一就會成為有限小數。一千空零…- 零角九九九…=零零零…=零，故所=零角九九九…。

這係假做吔零九九九…無啦「最後个九」、這兜無限循環小數點以後个位數係做得列个（做得由第一個數位一個位一個位數下去乜在有限次數到任何一個數位）（這已經得出零九九九…無啦「最後个九」）、一千空零…- 零角九九九…个結果存在小數表示式。運算結果將無「盡尾个一」，故所一摎零嗒九九…無差值。

代數

分數

無限小數係有限小數个一個必要个延伸，其中一個原因係用來表示分數。用長除法，一個像 $ { \ begin {smallmatrix } { \ frac { 一 } { 三 } } \ end { smallmatrix } } $ 个簡單整數，長除法過後變成一隻循環小數零三三三三…，其中有無窮多個數字三。利用這細數，盡遽就做得得著一個零八九九…=一个證明。用三乘上零角三三三…中个每一個三，就得著九，所以三 × 零嗒三三三…等於零角九九九…。還過 $ { \ begin { smallmatrix } 三 \ times { \ frac { 一 } { 三 } } \ end { smallmatrix } } $ 等於一，故所零角九九…=一。

這隻證明个另外一種形呢式，係用 $ { \ frac { 一 } { 九 } }=零嗒一一一 . . . $ 共乘上九。

因為兩個地方嚕係正確个，所以根據相等關係个遞移性質，零角九九九…定著等於一。當像个，${ \ begin { smallmatrix } { \ frac { 三 } { 三 } }=一 \ end { smallmatrix } } $，還過 $ { \ begin { smallmatrix } { \ frac { 三 }{ 三 } }=零角九九九 \ ldots \ end { smallmatrix } } $。故所零角九九…定著等於一。

一個特別个除法豎式

用豎式計算做得得 $ { \ frac { 八八九九 . . . } { 九 } }=零角九九九 . . . $

設置 $ n=零角九九九 . . . \ quad $

斯係

$ { \ begin { aligned } { \ frac { 八 + n } { 九 } }&=n \ \ 八 + n &=九 n \ \ \ end { aligned } } $

解除這個元一次方程式得 :

$ { \ begin { aligned } 八 &=八 n \ \ n &=一 \ \ \ end { aligned} } $

故所 $ 零角九九九 . . .=n=一 \ quad $。

位數操作

另外一種證明還較做得用在其他循環小數。係講一個小數坐吔十點，厥个數目字無變化，毋過小數點點向右移了一位啊。所以十 × 零角九九九…等於九九九九…，佢比原來个幾大九。

考慮著九九九…減忒零角九九九…。這個時節做得一位一位地減；在小數點過後个每一位，結果都係九- 九，也就係零。毋過末尾个零並做毋得改變一個數，故所差忒多正九。最後一隻步驟呢用到了代數。設立吔零嗒九九…=_ c _，十分个有名 _ c _ − _ c _=九，也就係九 _ c _=九。等式兩片共樣除了九，就得證：_ c _=一。用一系列方程來表示，就係

$ { \ begin { aligned } c &=零角九九九 \ ldots \ \ 十 c &=九八九九 \ ldots \ \ 十 c-c &=九八九九 \ ldots 種吔九九九 \ ldots \ \ 九 c &=九 \ \ c &=一 \ \ 零角九九九 \ ldots &=一 \ end { aligned } } $

以上兩隻證明明裡背个位數操作个正確性，並無需要盲目相信，乜毋使用來做公理；佢係從細數同所表示个算數之間个基本關係得出个。這個關係嗬，做得用幾個等價个方法來表示，已經規定吔零九九九…摎一都表示共樣个實數。

實分析

無窮級數同數列

對任何一個小數，都做得定義為無窮級數个同。一般个：

$ b _ { 零 } . b _ { 一 } b _ { 二 } b _ { 三 }b _ { 四 } \ ldots=b _ { 零 } + b _ { 一 } ( { \ tfrac { 一 } { 十 } } ) + b _ { 二 } ( { \ tfrac { 一 } { 十 } } ) ^ { 二 } + b _ { 三 } ( { \ tfrac { 一 } { 一零 } } ) ^ { 三 } + b _ { 四 } ( { \ tfrac { 一 } { 十 } } ) ^ { 四 } + \ cdots $ .

對零嗒九九九…來講，這時做得使用這兜比級數無恁多个定理：

係講 $ | r| < 一 $，斯係 $ ar + ar ^ { 二 } + ar ^ { 三 } + \ cdots={ \ frac { ar } { 一 -r } } $ .

因爭零角九九…係公比為 $ r=\ textstyle { \ frac { 一 } { 十 } } $ 个等比級數个和，應用以上定理，蓋遽就做得得出證明吔：

$ 零角九九九 \ ldots=九 ( { \ tfrac { 一 } { 十 } } ) + 九 ( { \ tfrac { 一} { 十 } } ) ^ { 二 } + 九 ( { \ tfrac { 一 } { 十 } } ) ^ { 三 } + \ cdots={ \ frac { 九 ( { \ tfrac { 一 } { 十 } } ) } { 一 - { \ tfrac { 一 } { 十 }} } }=一 $，

這個證明（實際上係十等於九九九九…）早在一七七零年就在瑞士數學家萊昂哈德・歐拉个作品《Elements of Algebra》（《代數个要素》）中出現了。

等比級數个摎本身，係一個比歐拉還較早仔結果。一個典型个十八世紀个推導用到吔逐項个操作，像係以上个代數證明。一直到一八一年，Bonnycastle 个教科書《An Introduction to Algebra》（《代數个紹介》）還係使用這種比等比級數个方法來證明對九九九…使用个策略係正當个。在十九世紀，這種在該央時分人恅著儘儘採採个求摎方法遭受著了反對，恁樣就造成這下還係有支配地位个定義：一隻級數个和定義為數列个部分摎个極限。該定理个一個對應个證明，明確个摎這數列計算出來吔；這做得在任何一本來證明做基礎个微積分或者數學分析个教科書當中尋著。

對於數列（_ x _ 零，_ x _ 一，_ x _ 二，…）來講，係講當 _ n _ 增大个時節，距離 | _ x _ − _ x _ n | 變到儘採細个，該恁呢這個數目列就具有極限 _ x _。零角九九九…=一个表述，做得用極限个概念來詳細說明摎證明：

$ 零角九九九 \ ldots=\ lim _ { n \ to \ infty } 零 . \ underbrace { 九十九 \ ldots 九 } _ { n }=\ lim _ { n \ to \ infty } \ sum _ { k=一 } ^ { n } { \ frac { 九 } { 十 ^ { k } } }=\ lim _ { n \ to\ infty } \ left ( 一 - { \ frac { 一 } { 十 ^ { n } } } \ right )=一 - \ lim _ { n \ to \ infty } { \ frac { 一 } { 十 ^ { n } } }=一 . \ , $最後一隻步驟—lim 十分之一 n=零—一般由實數有阿基米德性質這一原理來證明。這個用極限做基礎个對零法九九九…个看法，有个時節會用較餳人注意毋過無麼个精準个話語來表達。比將講，在一八四六年个米國教科書《大學算術》（《 The University Arithmetic》）中有恁一句：「零角九九九 +，一直到無窮遠等於一，這係因為逐擺加一個九，都會分佢个值過較接近一」（. 九百九十九 + , continued to infinity=一 , because every annexation of a 九 brings the value closer to 一）；在一八九五年个米國教科書《Arithmetic for Schools》（《學校算術》）中也有：「…係講有非常多个九，該恁呢摎九九九九…个差就細到當難想像了」（「…when a large number of 九 s is taken , the difference between 一 and .九千九百九十九…becomes inconceivably small」）。這種啟發式个教學法，輒常分學生仔誤解做零九九九…本身就比一較細。

====區間套摎最細个上界====以上个級數定義，係一個用細數展開式來定義實數个簡單个方法。還有一種補充个方法，係倒貶个過程：對一個分定个實數，定義一個相關个小數展開式。

係講知著一個實數 _ x _ 在關門个所在[零 , 十] 內（也就係講，這个實數大於抑係等於零，小於抑係講在十pa24），這時就做得想像摎這個區間分十個部分，淨在終點个地方相重疊：[零 , 一]、[一 , 二]、[二 , 三]，照這件事情類推，一直到 [九 , 十]。實數 _ x _ 一定係屬於這十隻區間个一個；假使佢屬於 [二 , 三]，這下就摎數目字「二」記錄下來，還過摎這个區間再過分做十隻子區間：[二 , 二章一]、[二 .一 , 二十五]、…、[二章八 , 二十九]、[二十九 , 三]。摎這個過程呢緊繼續下去啦，這時就得著咧一隻無窮个區間套序列，由無窮个數字 _ b _ 零、_ b _ 一、_ b _ 二、_ b _ 三、… 來標示，還過記得

_ x _=_ b _ 零 . _ b _ 一 _ b _ 二 _ b _ 三…

在這種形式裡肚，一=一千空零…還過一=零角九九九…个事實，反映了一既位於 [零 , 一]，又位在 [一 , 二]，故所這下在尋佢个數目字个時節，做得選任意一個子區間。為著保證這種記法無濫用「=」號，這時節需要一種辦法來為每一個小數重新構造一個唯一个實數。這做得用極限來實現，毋過係還有其他个方法。

一個簡單个選擇，係區間套定理，佢保證只愛給出了一隻長度偎近零个閉區間套序列，恁樣這兜區間套个交集就堵好係一個實數。恁呢，_ b _ 零 . _ b _ 一 _ b _ 二 _ b _ 三…便定義為包含在所有个區間 [_ b _ 零 , _ b _ 零 + 一]、[_ b _ 零 . _ b _ 一 , _ b _ 零 . _ b _ 一 + 零嗒一]，依這類推動个唯一个實數。還合零角九九九…就係所有个區間[零 , 一]、[零嗒九 , 一]、[零嗒九九 , 一]、[零嗒九九…九 , 一]（對於任意有限個九）个唯一个實數。因爭一係所有這兜區間个公共元素，故所零八九九…=一。

區間套定理一般係建立在一隻還較基本个實數特徵之上个：盡細上界个存在。為著直接利用這兜事物，這央時做得同 _ b _ 零 . _ b _ 一 _ b _ 二 _ b _ 三…定義為集合 { _ b _ 零，_ b _ 零 . _ b _ 一， _ b _ 零 . _ b _ 一 _ b _ 二，… } 个最細上界。過這央時就做得證明，這種定義哦（抑係區間套个定義）同劃分个過程係共樣个，再一擺證明吔零九九九…=一。湯姆・阿波斯托爾得出結論：===對建構實數著手===

有兜方法用公理集合論明確摎實數定義為一定个建立在有理數頂高个結構。自然數 ─ ─ 零、一、二、三，照這種方式來推廣 ─ ─ 從零開始並繼續增加，恁樣逐個自然數量都有一個後接受个人。這時做得摎自然數个概念延伸到負數，得出所有个整數，並做得進一步延伸到比例，得出所有个有理數。這兜數系會跈等加法、減法、乘法摎除法个算術。還過微妙个，佢這兜還包含排序，恁樣一個數就做得摎另外一個進行較，還過發現係大於、小於，抑係等於。

對有理數到實數个一步，係一個當大个延伸。至少有兩種常見个方法來達到這一步，佢兜都在一八七二年出版：戴德金分割，還有柯西序列。直接用著這兜結構个零八九九…=一个證明，這下已經無法度在實分析个教科書當中尋著咧；最近幾下隻年代个趨勢，係使用公理化个分析啊。就算提供吔恁樣个一隻結構，佢也一般分人用來證明數个公理，從而為以上个證明提供證據。毋過，有兜作者表達了對一個結構開始正係邏輯項還較堵好个想法，恁吔得出个證明嚕過準備吔。

戴德金分割

在戴德金分割个方法當中，逐一個實數 _ x _ 定義為所有个小於 _ x _ 有理數所組成个無窮集合。比論講，實數一就係所有細於一个有理數个集合。每一個正个小數展開式蓋容易決定吔一個戴德金分割：像一隻展開階段个有理數个集合。故所實數零九九九…係有理數 _ r _ 个集合，使致得 _ r _ < 零，抑係 _ r _ < 零嗒九，抑係 _ r _ < 零嗒九九，抑係 _ r _ 小於其他具有 $ { \ begin { smallmatrix } 一 - { \ big ( } { \ tfrac { 一 } { 十 } } { \ big ) } ^ { n } \ end { smallmatrix } } $ 形式个數。零角九九九…个每一個銀齋都比一垤細，故所佢係實數一个一個元素。顛倒過來，一个一個元素係有理數 $ { \ begin { smallmatrix } { \ tfrac { a } { b } } < 一 \ end { smallmatrix } } $，也就係 $ { \ begin { smallmatrix } { \ tfrac { a } { b } } < 一 - { \ big ( } { \ tfrac { 一 } { 十 } } { \ big ) } ^ { b } \ end{ smallmatrix } } $。因爭零角九九…摎一包含共樣个有理數，故所佢兜係共樣个集合：零角九九九…=一。

摎實數定義為戴德金分割，首先由理察・戴德金在一百八十七第二年出版。以上摎每一個小數展開式分配一個實數个方法，愛算在弗雷德・里奇曼在《Mathematics Magazine》（《數學雜誌》）上發表个一篇安到「Is 零角九九九…=一 ?」（「零角九九九…=一哦？」）演講稿，主要係為大學个數學教師，尤其係初級／高級个程度，還有佢這兜个學生仔來做。里奇曼注意著，在有理數个任何一個膏密子集中取戴德金分割，都得著相共樣个結果；當特別个，佢用到了十進分數（分母為十个冪个分數），恁吔過遽啊得出證明吔：「故所，這時看著，在實數个傳統定義當中，方程零嗒九 \ *=一開始就建立吔。」摎這步驟喔過做進一步个修改，就得著另外一个結構，里奇曼對講這個結構還較有興趣；參見以下个「其他數系」。

柯西序列

另外一種構造實數个方法，間接地用著有理數个排序。首先，有理數 _ x _ 摎 _ y _ 之間个距離定義為絕對值 | _ x _ − _ y _ |，其中絕對值 | _ z _ | 定義為 _ z _ 摎 − _ z _ 个最大值，故所總係無奈何个。恁樣實數就分人定義為有關這摎個距離具有柯西序列性質个有理數序列。也就係講，每一个實數都係一个柯西收殮个數列（_ x _ 零，_ x _ 一，_ x _ 二，…）。這係一個對自然數到有理數个映射，使致得對任何正有理數 δ，總存在一個 _ N _，做得對所有 _ m _、_ n _ > _ N _，都有 | _ x _ m − _ x _ n | ≤ δ。（兩項之間个距離變到比任何正个有理數都還較細。）

係講（_ x _ n）摎（_ y _ n）係兩个柯西數列，該恁呢係講數列（_ x _ n − _ y _ n）有當大个限制呢，這兩個數列便定義為相等个。摎小數 _ b _ 零 . _ b _ 一 _ b _ 二 _ b _ 三…拆開來，就得著一個有理數序列，佢係柯西序列；這個序列對應个實數被定義為這個小數个值。故所，在這種形式裡肚，這下个任務就係愛證明，有理个數序列

$ \ left ( 一千擔 , 一 - { 九 \ over 十 } , 一 - { 九十九 \ over 一百 } , \ cdots \ right )=\ left ( 一 , { 一 \ over 十 } , { 一 \ over 一百 } , \ cdots \ right ) $

有當大个限制呢。對於 _ n _=零、一、二、…，考慮數列个第一 _ n _ 項，這央時需要證明

$ \ lim _ { n \ rightarrow \ infty } { \ frac { 一 } { 十 ^ { n } } }=零 $。

這個大家都試著當毋知；一個可能个證明，係在數列个極限定義當中，對於 ε=_ a _ / _ b _ > 零，這隻時節做得拿 _ N _=_ b _。故所，這又一擺證明吔零九九九…=一。

將實數定義係柯西序列，首先由愛德華・海西同格奧爾格・康托爾獨立發表，也係在一八七二年。用細數展開式个方法，包含零角九九九…=一个證明，就係愛自格利菲斯（Griffiths）摎希爾頓（Hilton）在一九七零年个作品《一本經典數學个綜合教科書：一個當代个講》（_ A comprehensive textbook of classical mathematics : A contemporary interpretation _）。這本書係特別為著用當代个眼光回顧兜仔熟絡个數學概念來做个。

推廣

零角九九九…=一个證明，黏時做得進行兩種推廣。首先，對每一個非零个有限小數（也就係講，對某一位開始全係零），都存在另外一個同佢相等个數，對某一位開始總係九。比將講，零嗒二四九九九…等於零嗒二五，就像這時節考慮著个特殊情形。這兜數堵好係十進分數，還過係膏密个。

第二，一個共樣个定理做得用著任何一個底數抑係進位制。比將講，在二進位，零嗒一一一…等於一；還過在三進位中，零嗒二二…等於一。實分析个教科書當有可能略過零九九九…个特殊情況，而從一開始就紹介這兩種推廣个一種抑係兩種。

一个其他表示法乜出現在非整數進位制當中。比將講，在黃金進位，兩隻標準个表示法就係一千空零…摎零嗒一零一零一零…，另外還有無窮多種包含有相鄰个一个表示法，像零嗒一一，零角仔一零一一，零角仔一零一零一等等。一般个，對於幾乎所有个一同二之間个 _ q _，在 _ q _ 進位中都有無窮多種一个展開式。該另外一方面，共樣還係有放在不可數個 _ q _（包含所有大自然數），使得在 _ q _ 進位中單淨有一種一個展開式，除了顯然个一千擔十空零…。這個結果首先由保羅・埃爾德麼个啊、Miklos Horváth 摎 István Joó 在大約一九九零年得著。一九九八年，VilmosKomornik 摎 Paola Loreti 確定了具有這種性質个最細个進位制 ─ ─ Komornik-Loreti 常數 _ q _=一千七百二十三一六五零…。在這個進位制中，一=零一零一零零一一零零一零一零一一零一…；厥个數字係由圖壞 - 摩斯數列列分出，毋係循環小數。

一個還較深个推廣，講著最一般个進位制。在這兜進位制中，一個數也有多種表示法，在某種意義上來講難度甚至還較大。比將講：

在平衡三進位系統當中，二分之一=零嗒一一一…=一千擔一百空一一…。
在階乘進位制系統當中，一=一千空零…=零角仔一二三四…。

Marko Petkovšek 證明了這種歧義係使用進位制个必然結果：對任何一個摎所有實數安名个系統，總有無窮多個實數有多種表示法，這兜實數組成个集合又係膏密个。佢摎這證明喊做「一個基本點集拓撲學个指導性个練習」：佢包含了摎各位數量个集合看做斯通空間，還過注意著佢兜个實數表示法做得由連續函數出來。

應用

零角九九九… 其中一個應用哦，出現在基本數論裡背。一八零二年，H ・古得溫出版了一份觀察資料，描寫了分母為一定个素數个分數个小數展開式中九个出現。例仔包含：

七分之一=零角仔一四二八五千七百一十四齣个相關消息…，該一百四十二 + 八百五十七=九百九十九。
七十三分之一=零嗒零一三六九八六三零一三六九八六三…，而一百三十六 + 九千八百六十三=九千九百九十九。

E ・米迪在一百八十三六年證明了有關這類分數个一般个結果，這下安到米迪定理。當初出版个時節無寫到當清楚，這時節也毋知厥个證明係毋係直接講著了零嗒九九…，毋過盡無乜有一個 W ・ G ・萊維特个現代證明係恁樣个。係講這央時做得證明，一个有形式零 . _ b _ 一 _ b _ 二 _ b _ 三…个小數乜係正整數，嘎恁吔佢就一定係零九九九…，這就係定理中九个來源。在這個方向項繼續做研究，就做得看著像人个公因、同餘、費馬素數、群元素个階段，還有二到互反律這兜概念。

轉到實分析个主題頂項，三進位當中个類似等式零法二二二…=在刻劃康托爾集合 ─ ─ 一個最簡單个碎形个特徵當中，扮演了一個十分重要个角色：

一個單位區間當中个點位在康托爾集合內，若係單淨佢在三進位做得淨用數目字零同二來表示。

小數中个第 _ n _ 位反映了在第一 _ n _ 個階段時節點个位所。比將講，點 ²⁄ 三做得講係輒常表示為零點二或者零零二零零零…，這係因為佢在第一隻刪除部分个右片，還過以後所有个刪除部分个左面。點一 ⁄ 三係無表示講為零嗒一，還過表示係零嗒二二…，這係因為佢在第一个刪除部分个左片，還過以後所有个刪除部分个右片。

重複个九還出現在另外一個康托爾个研究成果當中。在應用佢在一八九一年發表个對角線論證法來證明單位區間个不可數性个時節，定著愛考慮著這種因素。這種證明需要根據小數展開式來斷言兩個實數係無共樣个，故所這下需要避免完成零美二摎零氏一九九九…這兜數對。一個簡單个方法同所有个實數表示為無限小數；相反个方法便排除了重複个九个可能性。一個可能更加接近康托爾原先个證明个變體，實際上使用了二進位，同三進位展開式轉換做二進位展開式，這時節也做得證明康托爾集合个無可數性。

教育當中堵著个疑狐

異多學習數个學生仔旦旦都疑狐、蓋難接受著零九九九…=一个等式，其原因有當多，從根本無共樣个外觀，到對數列个極限概念个深度疑慮，還過無限制（無窮）个本性个異議，還有當多對數學毋著个觀念這兜背後个因素，從而造成了這種混亂；

學生仔根據頭擺學習个較多大細比較時使用「高位較贏，共樣个再過比次高位」个方式，個位 $ 零< 一 $，故所就無愛承認 $ 零 . { \ bar { 九 } }=一 $。
當多學生仔試著無窮細這兜在零，還過摎零嗒九九九…看做係一隻不定值，就淨這下向等一方向無限制个擴大，故所佢同一个差永遠係無限細个毋係零，就係「永遠都差一息」。
學生仔長透「堅信一個數有還過單淨有一種小數个表示方法」。佢兜看著兩個明顯無共樣个小數，表示仔嗄係共樣个實數，就認為講這係違反，該表面項熟事个幾下一，這隻違論加深。
有兜學生仔同「零角九九九…」（抑係差毋多个記法）理解做當長毋過有限个一串九，無定著長度係做得變个、無特別指出个。係講佢兜接受咧有無窮多隻九个事實，佢兜還係可能認為「在無窮遠个地方」「有最後个一個九」。
直覺同模稜兩可个教導，都分學生仔試著數列个極限係一個無限个過程，毋係一個確定个值，因為一個數列無一定就有極限。係講佢兜了解了數列同佢个極限个差別，佢兜就有可能摎「零角九九九…」理解為數列，毋係厥个極限。
有兜學生仔相信收殮級數个值最多淨係一個估算，也就係 $ 零 . { \ bar { 九 } } \ approx 一 $。

這兜想法在標準實數系（指有完整性个）裡背都係毋著个，毋過其他數系當中有可能係正確个（要求相應个數系毋會有阿基德个性質，因為阿基米德性質要求數系當中無非零無窮細）。這兜系統愛仰仔為一般數學用途來發明，愛仰仔做指導性个反例，分大家還較好个理解零九九九…。

當多這兜解釋都係大衛・塔爾教授發現个，佢研究了造成學生仔無細義个教方法个特徵。佢訪問吔佢个學生仔用決定做麼个大部分人一開始都拒絕接受這个等式，發現「學生仔還係繼續摎零嗒九九九…認為一個越來越接近一个數列，毋係一個定值，因為『你無指定佢有幾多儕』抑係『在所有小於一个小數中，佢係最大个算數。』」

在所有初等个證明當中，用零角三三三…=一 ⁄ 三乘上三表面上係分學生仔高不將接受著零嗒九九…=一个一個成功个策略。毋過，面對等對第一隻等式个相信還過對第二隻等式个懷疑，有兜學生愛仰吔就開始懷疑第一個等式，乾脆就感覺著灰心就壞事吔。同時乜還有否認零九九九…=一个學生仔指出三股一比零三三股五…過大一息（因為三分之一係除毋忒个），故所推法「無成立」。更加複雜个方法，乜毋係有效个；有兜學生仔完全做得應用嚴格个定義，毋過佢兜分一個高等數學个結果，包含零角九九九…所著驚哦時，還係退轉到直覺个形象項去了。比將講，有一個學習實分析个學生仔，做得用最細上界个定義來證明零角三三三…=一 ⁄ 三，毋過還係堅持講零九九…< 一，因為佢早以前對長除法个理解。其他學生乜做得證明一 ⁄ 三=零嗒三三三…，毋過，面對等以上个分數證明，仍然堅持講「邏輯」做得代替數學運算。

約瑟・馬祖爾講了一個故事：

這位學生仔相信，九隻數字就係學習數學所需要个一切，包含計算二十三个平方根。這位學生仔對九九八九…=十个極限證法感覺著揪揪，安到「一個難以想像个無限增長个過程」。

做為埃德・杜賓斯基个數學習个「APOS 理論」个一部分，杜賓斯基摎佢个合作者在二零零五年提出：任何一個學生仔，淨愛摎零角九九九…設想為一個有限个、無確定个數串，同一个差係無窮細，該恁呢佢就「還吂對無限小數形成一個完整个過程概念」。其他對零嗒九九九…有吔完整个過程概念个學生仔，還係無一定做得摎這個過程「概概都有」成一個「對象概念」，就像佢這兜對一个對象概念恁樣，故所還係試著零九九九…摎一隻係無共樣个。杜賓斯基還摎這種概括个能力摎一 ⁄ 三看做係一個獨立个數量，還過摎實數个集合看做係一隻整體來聯絡起來。

大眾文化當中

跈等網際網路个蹶起，有關零角九九九…个討論既經衝了出了教室，還過行向了新聞群組摎信息版，像係這兜名就同數學無關係个信息版。在新聞群組 sci . math 中，辯論零角九九九…係一項「受著歡迎个運動」，乜係長透看著問答集之一。輒常看著个問答集涵蓋了一 ⁄ 三、乘上十、還有佢限个證明，乜講著咧柯西序列。

一個二零零三年版本个報紙專欄《真實訊息》通過一 ⁄ 三和極限討論了零嗒九九九…，還過談著了解：《真實訊息》在自家个信息版引用咧另外一隻不明个信息版當中个討論，該個信息版「大部分係有關電子遊戲个」。零角九九九…个問題在暴雪娛樂个 Battle . net 論壇个頭七年也係一個非輒常受歡迎个話題，故所這個公司在二零零四年个戇人節高不將愛發布咧一則「新聞」，聲明零角九九九…就係一：

過了就提供了兩隻證明，一個係極限个證明，另外一個係乘十个證明。比較直觀个解釋，做得摎一垤圓餅平均切三分來證明。

其他數系

雖然實數形成了一個當有用个數系，摎「零角九九九…」解釋做一個實數个決定因為還係一個約定，蒂莫西・高爾斯在《Mathematics : A Very Short Introduction》（《數學：一個當簡短个紹介》）講著，零角九九九…=一个等式乜係一隻約定：

這時節做得用無共樣个規則抑係新个事物來定義其他數系；在數系當中，以上个證明斯愛重新解釋。這時節就有可能發現，在某一個分定个數系當中，零角九九九…摎佢無一定就係相等个。毋過，當多數系都係實數系个延伸，毋係獨立个替代物，故所零角九九…=一仍然成立著。就算係在這幾系中，這時節照值得去檢查其他个數系，毋單淨為著愛知零九九九…係仰仔表現个（係講「零角九九九…」既然有意義又毋會膏膏），乜為著知相關現象个表現。係講這種現象摎實數系統裡背現象無共樣，該至少一個建立在這個系統中个假使便定著無成立了。

無窮細

零角九九九…=个證明依賴於標準實數个阿基德性質：無存在非零个無窮細。存在等數學頂高密切相關个有序代數結構係非阿基德个，其中包括標準實數个各種各樣个替代品。零角九九九…个意義摎這央時用个結構有關。比將講，在對偶數中，引進了一隻新个無窮細單位 ε，斯像複數系統裡背肚个虛數單位 _ i _ 共樣，毋過 ε²=零。恁樣飯包出一個在自動差毋多十分有用个結構。該央時做得分對偶數一個字典序，恁呢 ε 个倍數就毋係阿基米德原素。毋過，愛注意著，做實數个延伸，在對偶數當中還係有零角九九九…=一。做你 ε 在對偶數中存在，ε / 二也存在，故所 ε 就毋係「盡細个正對偶數」。確實係恁仔，在實數中，並無存在這類个數。

另外一種構造標準實數个替代品个方法，係用拓撲斯理論摎替代个邏輯，毋係集合論同經典个邏輯（一種特殊情況）。比將講，在滑溜溜个窮細分析當中，就存在無倒算个無窮細。

非標準分析因為包含了一個有無窮細（還有佢兜个反元素）完整陣列个系統來眾所周知，佢提供了一個無共樣个無共樣个，可能係更加直觀个，對略略仔積分个處理。A . H . Lightstone 在一九七二年提供吔一個非標準小數展開式个發展，其中每一個位在（零 , 一）之內个擴展个實數，都有一個唯一个擴展个小數展開式：數列零 . ddd…；… ddd…，由擴大个自然數量作索引。在這種形式裡肚，零嗒三三三…有兩種自然个展開式，都毋摎三股一股差無窮細：

零嗒三三三…；… 零…無存在啦，還過

零嗒三三三…；… 三百三十三…堵好就係三分之一。

組合博弈論也提供了替代个實數，無窮个藍 - 紅 Hackenbush 就係一個相關个例仔。一九七四年，埃爾溫・伯利坎普描寫吔一個 Hackenbush 字串摎實數个兩進位展開式之間个對應關係，由數據解決个想法。比將講，Hackenbush 字串 LRRLRLRL…該值係零重點一零一二…=三股一股。毋過，LRLLL…个值（對應著零嗒一一一pa24…二）斯摎一相差無窮細。兩隻數量个差係超實數一 / ω，其中 ω 係第一個無窮序數；相關个博弈係 LRRRR…抑係講零零零…二。

超過減法个慣例

另外一種也做得使以上證明毋成立个方法，就係一 − 零角九九九…根本就無存在，因爭減法無定著就係有可能个。具有加法運算但係無減法運算个數學結構包含做得交換半群、做得交換滿半群，還有半環。里奇曼考慮了兩種這類个系統，使致得零姣九九…< 一。

首先，里奇曼摎非負个「小數」定義為字面項个細數展開式。佢定義吔字典序摎一種加法運算，注意著零九九九…<一單淨因為在個位數零 < 一，毋過對任何一個有限小數 _ x _，都有零角九九…+ _ x _=一 + _ x _。故所「小數」个一個特殊个地方，係等式兩片做毋得共下減一個數；另外一隻特別个地方，就係無啊「小數」對應著一 ⁄ 三。同乘法也定義了以後，「小數」便形成了一個正个、全序个、做得交換个半環。

在定義乘法个過程當中，里奇曼還定義吔另外一種系統，佢安到「分割 _D _」，佢係小數个戴德金分割个集合。通常用這種定義就做得得出實數，毋過對小數 _ d _ 佢既然做得分割（−∞，_ d _），又做得「主分割」（−∞，_ d _ ]。恁樣做个結果，就係實數摎「小數」「毋鬆爽个歇共下」。這個系統當中也有零角九九九…< 一。在分割 _ D _ 中不存在正个無窮小，毋過存在一種「負个無窮細」─ ─ 零 −，佢無小數展个開式。里奇曼做得出結論，零嗒九九十九…=一 + 零 −，而方程「零角九九九…+ _ x _=一」斯無解。

_ p _ 進數

問著有關零九九九…个時節，初學者長透相信應該有一隻「最後个九」，也就係講，相信一 − 零角九九九…等於一個正數，做得寫為「零零零…一」。毋管該有意義無，目標都係明確个：摎一加在零九九九…中个最後个九上，就會同所有个九變做零，並在個位數留下一個一。係講考慮著其他个原因，這種想法就無成立了，這係因為在零九九…中，並無存在「最後个九」。對於包含最後个九个無窮多個九，這個時節定著愛對別个地方去尋。

_ p _ 進數係在數論當中引起興趣个又一個數系。像實數恁樣，_ p _ 進數做得從有理數通過柯西序列得著；毋過，這種結構使用了另外一種度量，零摎 _ p _ 之間个距離比賽零同一个距離還愛近，還過零摎 _ pn _ 个距離又比零與 _ p _ 个距離兼。對於素數 _ p _ 來講，_ p _ 進數便形成了一個域，還過對其他个 _ p _，包括十來講，斯係形成了一個環。故所在 _ p _ 進行算術，這種數系也無存在無窮細。

在十進數中啊，像係小數展開式个事物位在較小數點个左片。十進展開式…九百九十九確實有一個最後背个九，嗄無第一个九。這央時做得摎一加在個位數項，恁仔進位過後就淨伸著零吔：一 +…九百九十九=…零=零，故所…九百九十九=− 一。另外一種推導用著吔等比級數。「… 九十九九」所講个無窮級數在實數當中無恁多，毋過在十進數中無恁大个情形，所以這隻時節做得用大家熟个公式：

$ \ ldots 九百九十九=九 + 九 ( 十 ) + 九 ( 十 ) ^ { 二 } + 九 ( 十 ) ^ { 三 }+ \ cdots={ \ frac { 九 } { 一千八百五十 } }=重點一千八百空二 . $

（同頭前个級數比較。）第三種推導係一個七年生个學生仔發明个，佢對先生講个零嗒九九九…=一个極限證明感覺著懷疑，故所產生了靈感，把以上乘以十个證明應用在相反个方向頂：係講 _ x _=…九百九十九，十分个有名 _ x _=…九百九十，所以十 _ x _=_ x _ − 九，故所 _ x _=− 一。

做一個盡尾个延伸，因爭零角九九…=一（在實數中），還過…九百九十九=− 一（在十進數中啊），這隻時節做得「盲目、大膽个搣射符號」，摎兩個等式加加起來，得出：… 九百九十九. 九百九十九…=零。這個等式在十進展開式當中同標準小數展開式當中都係無意義个，毋過假使這下研究出一種「雙小數」个理論，其中小數點左面摎右片都做得無限延伸，該恁呢等式个就係有意義同正確个。

參見

數學
算術
無窮（無限）
極限
小數表示法
非正式个數學
非整數進位制
非標準分析
實分析
無窮級數

註解摎引用

參考文獻====擴展閱讀

外部連結

When is . 九百九十九 . . . less than 一 ? Karin Usadi Katz and Mikhail G . Katz
九九九九九九…=一 ? 來自 cut-the-knot
做麼个零角九九九 . . .=一？
問一位科學家：重複个小數
因為算術个等式證明
重複个九
零 .九循環就係一等於一
大衛・塔爾个研究
Metamath 上个零嗒九九 . . . 定理
果殼網項个盡分人糾結个等式：零角九九九 . . .=一

簡介

證明