虛數單位

在數學、物理摎工程學裏，虛數單位係講二到方程式 $ x ^ { 二 } + 一=零 $ 个解。雖然無恁樣个實數做得滿足這二次方程式，但係做得通過虛數單位將實數系統 $ \ mathbb{ R } $ 延伸到複數系統 $ \ mathbb { C } $。延伸个主要動機為有當多實係數多項式方程式無實數解。比將講該下講著个方程式 $ x ^ { 二 } + 一=零 $ 就無實數解。毋過係講𫣆做得解答為虛數，該恁呢這方程式就用摎所有个多項式都有解。虛數單位標記為 $ i $，在電機工程摎相關領域當中則標記為 $ j $，這係為著避免同電流（記為 $ i ( t ) $ 抑係 $i $）混亂。

定義

虛數單位 $ i $ 定義為二次方程式 $ x ^ { 二 } + 一=零 $ 个兩個根中个一個。這方程式又做得等價來表達：

$ { { x } ^ { 二 } }=重點一千八百空二 $。

因為實數个平方絕對無可能係負數，𠊎兜假使有恁樣一個數目解答，分佢設定一隻符號 $ i $。當重要个一點係，$ i $ 係一個良定義个數學構造。

另外，虛數單位共樣做得表示為：: $ i={ \ sqrt { - { 一 } } } $

毋過 $ i={ \ sqrt { - { 一 } } } $ 旦勢分人試著係毋著个，佢兜个證明个方法係：

因為 $ 重點一千八百空二=i \ cdot i=\left ( { \ sqrt { 重點一千八百空二 } } \ right ) \ times \ left ( { \ sqrt { 重點一千八百空二 } } \ right )={ \ sqrt { \ left ( 重點一千八百空二 \ right ) \ times \ left ( 重點一千八百空二 \ right ) } }={ \ sqrt { 一 } }=一 $，毋過 - 一不等於一。

毋過請注意：$ { \ sqrt { a \ cdot b } }={ \ sqrt { a } } \ cdot { \ sqrt { b } } $ 成立个條件有 $ a $ , $ b $ 做毋得為負數。

實數運算做得延伸到虛數摎複數。一個表達式个時節，𠊎兜淨需要假做 $ i $ 係一個毋知數，還過依照$ i $ 个定義，替代任何 $ i ^ { 二 } $ 个出現係 - 一。$ i $ 个過較高整數冪數乜做得替代為 $ -i $，$ 一 $，抑係 $ i $，根據下背个方式：

$ i ^ { 三 }=i ^ { 二 } i=( 重點一千八百空二 ) i=-i $，

$ i ^ { 四 }=i ^ { 三 } i=( -i ) i=- ( i ^ { 二 } )=- ( 重點一千八百空二 )=一 $，

$ i ^ { 五 }=i ^ { 四 } i=( 一 ) i=i $。

一般个，有以下个公式：

$ i ^ { 四 n }=一 $

$ i ^ { 四 n + 一 }=i $

$ i ^ { 四 n + 二 }=重點一千八百空二 $

$ i ^ { 四 n + 三 }=-i $: $ i ^ { n }=i ^ { n { \ bmod { 四 } } } $

其中 $ { \ bmod { 四 } } $ 表示分四除个餘數。

_ i _ 摎 - _ i _

方程式 $ x ^ { 二 }=重點一千八百空二 $ 有兩隻無共樣个解釋，佢兜都係有效个，還愛互相為共軛个虛數摎橫忒。更加確定个，一旦固定了方程式个一個解啦 $ i $，該恁仔 $ -i $（無等於 $ i $）也係一個了解啦，因爭對這個方程式係 $ i $ 个唯一个定義，故所這個定義表面上有歧義。毋過，淨愛摎其中一個解選定，還過固定做 $ i $，恁呢實際上係無歧義个。這係因為，雖然 $ -i $ 摎 $ i $ 在數量上毋係相等个（佢兜係一對共軛虛數）， 毋過 $ i $ 摎 $ -i $ 之間無質量上个區別（重點一和 + 一就毋係恁呢啊）。 在任何个等式當中同時將所有 i 替換做 - i，該等式還係成立。

$ -i ^ { 二 }=一$

$ -i=i ^ { 重點一千八百空二 }={ \ frac { 一 } { i } } $

正當个使用

虛數單位成時記為 $ { \ sqrt { 重點一千八百空二 } } $。毋過，使用這種記法个時節需要非常个謹慎，這係因為有兜在實數範圍內成立个公式在複數範圍內並無成立。比將講，公式 $ { \ sqrt { a } } \ cdot { \ sqrt { b } }={ \ sqrt { a \ cdot b } } $ 單淨對非負个實數$ a $ 摎 $ b $ 正成立。

假使這個關係在虛數還係成立，會出現用下情況：

$ 重點一千八百空二=i \ cdot i={ \ sqrt { 重點一千八百空二 } } \ cdot { \ sqrt { 重點一千八百空二 } }={\ sqrt { ( 重點一千八百空二 ) \ cdot ( 重點一千八百空二 ) } }={ \ sqrt { 一 } }=一 $（無正確）

$ 重點一千八百空二=i \ cdot i=\ pm { \ sqrt { 重點一千八百空二 } } \ cdot \ pm {\ sqrt { 重點一千八百空二 } }=\ pm { \ sqrt { ( 重點一千八百空二 ) \ cdot ( 重點一千八百空二 ) } }=\ pm { \ sqrt { 一 } }=\ pm 一 $（無正確）

$ { \ frac { 一 } { i } }={ \ frac { \ sqrt { 一 } } { \ sqrt { 重點一千八百空二 } } }={ \ sqrt { \ frac { 一 } { 重點一千八百空二 } } }={ \ sqrt { 重點一千八百空二 } }=i $（無正確）

_ i _ 个運算

蓋多實數个運算都做得推廣著 $ i $，像係平方根、冪、對數摎三角个函數。以下運算除了第一項之外，都係摎 $ i $ 有關个多值函數，在實際應用个時節必須指明函數个定義選擇在黎曼面个哪支。下背列出个單淨係最輒採用个黎曼面分支个計算結果。

• $ i $ 个平方根係：

$ \ pm \ left ( { \ frac { \ sqrt { 二 } } { 二 } } + { \ frac { \ sqrt { 二 } } { 二 } } i \ right )=\ pm { \ frac { \ sqrt { 二 } } { 二 } } ( 一 + i ) $

這係因為：

$ { \ begin { aligned } \ left [\ pm { \ frac { \ sqrt { 二 } } { 二 } } ( 一 + i ) \ right] ^ { 二 } &=\ left ( \ pm { \ frac { \ sqrt { 二 } } { 二 } } \ right ) ^ { 二 } (一 + i ) ^ { 二 } \ \ \ &={ \ frac { 一 } { 二 } } ( 一 + 二 i + i ^ { 二 } ) \ \ &={ \ frac { 一 } { 二 } } ( 一 + 二 i 重點一千八百空二 ) \ \ &=i \ end { aligned } } $: 使用主平方根符號表示：

$ { \ sqrt { i } }={ \ frac { \ sqrt { 二 } } { 二 } } ( 一 + i ) $

其解法係先假做兩個實數 $ x $ 過 $ y $，使致得$ ( x + iy ) ^ { 二 }=i $，求解 $ x , y $ * 一個數个 $ ni $ 次冪為：

$ x ^ { ni }=\ cos \ ln x ^ { n } + i \ sin \ ln x ^ { n } $: 一個數个 $ ni $ 次方根為：

$ { \ sqrt [{ ni }] { x } }=\ cos \ ln { \ sqrt [{ n }] { x } } -i \ sin \ ln { \ sqrt [{ n }] { x} } $

利用歐拉公式

$ i ^ { i }=\ left [e ^ { i ( { \ frac { \ pi } { 二 } } + 二 k \ pi ) } \ right] ^ { i }=e ^ { i ^ { 二 } ( { \ frac { \ pi } { 二 } } + 二 k \ pi ) }=e ^ { - ( { \ frac { \ pi } { 二 } } + 二 k \ pi ) } $，$ k \ in \ mathbb { Z } $

代入無共樣个 $k $ 值，做得計算出無限多个解。當 $ k=零 $ 盡細个解係 $ e ^ { - { \ frac { \ pi } { 二 } } } \ approx $ 零奸二零七八七九五七六三五零七六 . . .

• 以 $ i $為底个對數係：

$ \ log _ { i } x={ { 二 \ ln x } \ over i \ pi } $

• $ i $ 个餘弦係一個實數：

$ \ cos i=\ cosh 一={{ e + { \ frac { 一 } { e } } } \ over 二 }={ { e ^ { 二 } + 一 } \ over 二 e } \ approx $ 一千五百空八零六三四八一五二 . . .

• $ i $ 个正弦係純虛數：

$ \ sin i=i \ sinh 一={ { e- { \ frac { 一 } { e } } } \ over 二 } i={ { e ^ { 二 } 重點一千八百空二 } \ over 二 e } i \ approx $ 一千八百五十二七千五百二十八十五間用一千一百九十三齣六千四百三十八 . . . $ i $

在程式語言

• 大部分个程式語言就毋提供虛數單位，還過平方根函數 ( 大體係sqrt ( )抑係Math . Sqrt ( )) 个引數做毋得係負數，故所，定著愛自家建立類別後背做得使用。
• 毋過 Lisp 當多實現摎方言，像係 Common Lisp，內建虛數同複數个支持。異多動態語言受著佢个影響，也在語言本身或者標準庫當中支持虛數摎複數，像係 Python、Ruby。
• 有兜傳統程式語言，像係 C 語言，也從 C 九十九開始支持虛數摎複數。
• 在 Matlab，虛數單位个表示方法係i抑係j，毋過i摎j在 for 迴圈做得有其他个用途。
• 在 Mathematica，虛數單位个表示方法係I、𝕚抑係𝕛。
• 在 Maple，定著愛啟用虛數功能，還過選擇用i還係j表示虛數單位。
• Go 語言在第一擺出現作品就內建个虛數同複數个支持，變數類型為 ` complex 六十四 ` 摎 ` complex 一百二十八 `。

參見

• 代數基本定理* 虛數
• 複數平面
• 單位根
• i

參考文獻

• Paul J . Nahin , An Imaginary Tale , The Story of √ 重點一千八百空二 , Princeton University Press , 一千九百九十八

外部連結

• 歐拉對多項式个複數根个研究
• i 作為 - 一个平方根（英文視頻）
• $ i ^ { 七千三百二十一 }$ 个計算方法來講（英文視頻）