一+二+四+八+…

在數學領域，一 + 二 + 四 + 八 +…係一個無窮苦級數，佢个每一項都係二个冪。做幾下級數，佢話著第一項，二係公比。

$ \ sum _ { k=零} ^ { n } 二 ^ { k } . $

做為實數級數，佢發散著無窮，故所在一般意義下佢个同無存在。

係講以代數運算个方式來計算這個數列个摎，雖然做得得著 ∞ 還有 - 一這兩個值，毋過這定著愛在還較當多个意義當中正做得成立。

在歷史摎數學教育，一 + 二 + 四 + 八 +…係正項發散幾何級數个一個基本例仔啦。當多隻結果摎爭論引出了當多種類似級數，其他比將講二 + 六 + 十八+ 五十四 +…。

求和

一 + 二 + 四 + 八 +…部分同數列係一 , 三 , 七 , 十五 ,…，因為該數列發散到無窮，所以部分摎數列也發散到無窮。故所任何通常求摎方法得著个同將係無窮，包含切薩羅求摎法過阿貝爾求和法。

另外一方面，有一種廣義方法使得一 + 二 + 四 + 八 +…个摎為有限值重點一千八百空二。相應个冪級數

$ f( x )=一 + 二 x + 四 x ^ { 二 } + 八 x ^ { 三 } + \ cdots + 二 ^ { n } { } x ^ { n } + \ cdots={ \ frac { 一 } { 一千擔二百空二 x } } $

無恁大个半徑係二分之一，故所佢在 _ x_=一時毋會收殮。毋過，恁樣定義个函數 _ f _ 在該去跌點 _ x _=二分之一過後，有到複數平面唯一个解析開拓，還過有相同个形式 _ f _ ( x )=一 / ( 一 − 二 _ x _ )。因為 _ f _ ( 一 )=− 一，原級數一 + 二 + 四 + 八 +…係有求和个 ( _ E _ )，其和為 − 一，還過筆字一係級數个 ( _ E _ ) 摎。（這標識方式係由戈弗雷 ・ 哈羅德・ 哈代參考萊昂哈德 ・ 歐拉在無窮級數頂个研究來得）

用幾乎完全共樣个方式做得考慮係數為一个冪級數，比將講：

$ 一 + y + y ^ { 二 } + y ^ { 三 } + \ cdots={ \ frac { 一 } { 一 -y } } $

用 _ y _=二代入。當然這兩隻級數可由關係式 _ y _=二 _ x _ 等價轉換。

事實上 ( _ E _ ) 摎為一 + 二 + 四 + 八 +…分配了一個有限值，這表明廣義方法毋係完全符合慣例个。另外一方面，佢具有一兜求和法可取个性質，包含穩定性摎線性質。這兜後背兩個公理實際上強制級數个摎為重點一千八百空二，故所佢令下背个操作有效：: $ { \ begin { array } { rcl } s &=& \ displaystyle 一 + 二 + 四 + 八 + \ cdots \ \ [一 em] &=& \ displaystyle 一 + 二 ( 一 + 二+ 四 + 八 + \ cdots ) \ \ [一 em] &=& \ displaystyle 一 + 二 s \ end { array } } $

在某種意義下，_ s _=∞ 係方程式 _ s _=一 + 二 _ s _个一個解啦（比將講 ∞ 係黎曼球項莫比烏斯轉換 _ z _ → 一 + 二 _ z _ 該兩隻無停動點之一）。 係講某種既經知得个求同方法轉去一個常數 _ s _，_ 比將講 _ 毋係 ∞，該恁仔這係容易確定个。在這種情形下 _ s _ 可能由方程式个兩片消去，得著零=一 + _ s _，故所 _ s _=− 一。

更加多个資料

• Barbeau , E . J. , and P . J . Leah . Euler's 一千七百六十 paper on divergent series . Historia Mathematica . May 一千九百七十六 ,三( 二 ) : 一百四十一–一百六十 . doi : 十 . 三百一十五分之一千空一十六八百六十 ( 七十六 ) 九pa24零三十pa24六 .
• Euler , Leonhard . De seriebus divergentibus . Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae . 一千七百六十 ,五: 兩百空五–兩百三十七[二千空九十五pa24二十五] .（頭擺內容存檔係在兩千空一十三重點九千五百二十六）.
• Ferraro , Giovanni . Convergence and Formal Manipulation of Series from the Origins of Calculus to About 一千七百三十 . Annals of Science . 二千空二 ,五十九: 一百七十九–一百九十九 . doi : 十 . 三十三十二七千九百八十一百空二十八八千一百七十九分之一千空八十 .
• Kline , Morris . Euler and Infinite Series . Mathematics Magazine . November 一千九百八十三 ,五十六( 五 ) : 三百空七–三百一十四 [二千空九十五pa24二十五] . doi : 十 . 二百六十九九歲三百七十一分之二千三百空七 .（ 頭擺个內容存檔係兩千空一十九八千空二十一）.
• Sandifer , Ed . Divergent series ( PDF ) . How Euler Did It . MAA Online. June 二千空六 [二千空九十五pa24二十五] .（原始內容存檔 ( PDF ) 在兩千空一十三重三千空二十）.
• Sierpińska , Anna . Humanities students and epistemological obstacles related to limits . Educational Studies in Mathematics .November 一千九百八十七 ,十八( 四 ) : 三百七十一–三百九十六 . doi : 十千五百空七 / BF 二十四線九百八十六 .