一+二+三+四+…

無窮級數中一 + 二 + 三 + 四 +…為所有自然數个和，係一個發散級數啦，厥个數學式乜寫作 $ \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } n $

這級數量以前 _ n _ 項有兜還有這係三角形个數：

$ \ sum _ { n=一 } ^ { n } n={ \ frac { n ( n + 一 ) } { 二 } } $

就算這隻級數个同第一眼看起來毋會有任何有意義个值，透過黎曼 ζ 函數目前在規化摎拉馬努金求摎這兜方法做得產生一有限值 $ - { \ frac { 一 } { 十二 } } $，表示為：

$ 一 + 二 + 三 + 四 + \ cdots=- { \ frac { 一 } { 十二 } } $

這隻結果果在複分析、量子力學摎弦理論這兜領域當中有所應用。

部分同公式个證明

自然數從 _ 一 _ 加到 _ n _ 个和係 $ { \ frac { n ( n + 一 ) } { 二 } } $ 做得用當多方法證明。首先令

$ S _ { n }=一 + 二 + 三 + 四 + \ cdots + ( n 兩千五百八十二 ) + ( n 重點一千八百空二 ) + n . \ , $

𠊎兜將這兜項重排反等寫：

$ S _ { n }=n + ( n 重點一千八百空二 ) + ( n 兩千五百八十二 ) +\ cdots + 四 + 三 + 二 + 一 . \ , $

將兩者相加，對應項加起來，𠊎等得著

$ 二 S _ { n }=\ underbrace { ( n + 一 ) + [( n 重點一千八百空二 ) + 二] + [( n 兩千五百八十二 ) + 三] +\ cdots + [三 + ( n 兩千五百八十二 )] + [二 + ( n 重點一千八百空二 )] + ( 一 + n ) } _ { n } , $

$ 二 S _ { n }=\ underbrace { ( n + 一 ) + ( n + 一 ) + ( n + 一 ) + \ cdots + ( n + 一 ) + ( n + 一 ) + ( n + 一 ) } _ { n } , $

$ 二 S _ { n }=n \ cdot ( n + 一 ) , $

$ S _ { n }={ \ frac { n ( n + 一 ) } { 二 } } .$

ζ 函數个求和摎解析連續性

當 _ s _ 个實部大於一，_ s _ 次方个黎曼 ζ 函數等於求和 $ \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { n ^ { -s } } $。當_ s _ 个實部會小在抑係等於一時摎式發散，毋過係講 _ s _=− 一時由 ζ ( s ) 个解析擴大出 ζ ( − 一 ) 為 $ - { \ frac { 一 } { 十二 } } $。

一 + 二 + 三+ 四 +…个摎無存在啊，毋過拉馬努金另外分定義，拉馬努金和為 $ - { \ frac { 一 } { 十二 } } $。

物理

在玻色弦理論當中，𠊎兜想算出一隻弦仔个可能量級，特別係最低能量級。非正式个講，每一個弦仔个諧波做得看做一組 $ D $ 無關量子諧振子，這位 $ D $ 係時空个維數。係講基本振子頻率係 $ \ omega $ 就一個振子著 $ n $ 級諧波个貢獻好 $ { \ frac { n \ hbar \ omega } { 二 } } $。故所利用發散級數𠊎兜發現係所有諧波項求和係 $ - { \ frac { \ hbar \ omega ( D 兩千五百八十二 ) } { 二十四 } } $。 最後背這確實係正確个，摎 Goddard–Thorn theorem 共下，造成波色弦理論在維數無共樣二十六點係無共樣个。

一個像个計算係計算卡西米爾力。

==歷史==在拉馬努金寫分戈弗雷 ・ 哈羅德 ・ 哈代个第二封信仔當中（日期係一九一三年二月二十七）：

「親愛个先生，𠊎盡感謝讀到你一九一三年二月初八个信仔。𠊎等做你个答案覆，像一個倫敦个數學教授寫信仔愛𠊎詳細研究布羅米奇个「無窮級數」毋好陷入發散級數个陷阱。…… 𠊎同佢講，在𠊎理論當中一個無窮數列 $ 一 + 二 + 三 + 四 + \ cdots=- { \ frac { 一 } { 十二 } } $。係講𠊎摎你講這个，你定著會勸𠊎進精神病收容院。𠊎摎你講這件事情淨係分你相信定定，係講𠊎暗示𠊎淨在一封信仔中所寫个行數，你無可能尋出𠊎證明个方法。」

延伸閱讀

• Lepowsky , James . Vertex operator algebras and the zeta function . Contemporary Mathematics . 一千九百九十九 ,兩百四十八: 三百二十七–三百四十 [二千空八十二隻作品十三] .（頭擺个內容存檔係在兩千空一十八千空十二pa24）.
• Zee ,A . Quantum field theory in a nutshell . Princeton UP . 二千空三 . ISBN 零枵六百九十一重點一千空一十九冤六 .   See pp . 六五–六 on the Casimir effect .
• Zwiebach , Barton . A First Course in String Theory . CambridgeUP . 二千空四 . ISBN 零meu11五百二十一八十二八九三千一百四十三間 .   See p . 兩百九十三 .

外部連結

• 數學物理逐禮拜發現（一百二十四隻禮拜），（一百二十六隻禮拜），（一百四十七隻禮拜）
• 歐拉對一 + 二 + 三 + ・ ・ ・=− 一 ⁄ 十二个證明
• 所有自然數个摎等於負十二分之一視頻